y=1のとき、明らかになりたたない。
よってy≧2となる。
y≧2のとき右辺は4の倍数になる。
7^xを4で割った余りは(-1)^x
3^xを4で割った余りは(-1)^x
これにより3^x+7^xを4で割った余りは2となる。
すなわち3^x+7^x=2^ｙとなるx,yは存在しない。
上で次のことを使っている。（正確にはその変形）
aをmで割った余りをr1 , bをmで割った余りをr2とすると、
a+bをmで割った余りはr1+r2をmで割った余りと等しい
a*bをmで割った余りはr1*r2をmで割った余りと等しい
a^nをmで割った余りはr1^nをmで割った余りと等しい
上でr1,r2を余りにしたけど、余りじゃなくても整数Qに対してa=m*Q+rとなるような整数rで成り立つ。
証明も簡単で、Q1,Q2を整数、r1+r2をmで割った余りをr3、その商をQ3、r1*r2をmで割った余りをr4、その商をQ4とする。
a=m*Q1+r1,b=m*Q2+r2とすると、
a+b=m*(Q1+Q2)+r1+r2=m*(Q1+Q2+Q3)+r3
a*b=m*(Q1*Q2+Q1*r2+Q2*r1)+r1*r2=m*(Q1*Q2+Q1*r2+Q2*r1+Q4)+r4
となることからa+bをmで割った余りはr3、a*bをmで割った余りはr4となることがわかる。
上の定理を知らなくても、3=4-1、7=4*2-1なので、
(4-1)^xを二項展開すると4^x+…x*4*(-1)^(x-1)+(-1)^xなので、整数Mを使って4M+(-1)^xとかける。
(4*2-1)^xを二項展開すると同様にして整数Nを使って4N+(-1)^xとかける。
3^x+7^x=4*(M+N)+2*(-1)^xとなる。
2*(-1)^xは-2または2となるから3^x+7^xを4で割りきれない。
としてもできる。
何かほかに別のやり方はないかなと考えてみたんだけど、
次のようなやり方もあった。
まずy=1のときは明らかに成り立たないのでy≧2とする。
3^x+7^x=2^ｙを満たすようなx,yが存在したとして背理法で示す。
まずおもむろに3^x-7^xを考える。
3^x-7^x=(3-7)*(3^(x-1)+…+7^(x-1))=-4*(3^(x-1)+…+7^(x-1))となるので4の倍数であるから
Mを整数として3^x-7^x=4Mとあらわされる。
これを3^x+7^x=2^yに辺々加えて、2*3^x=4M+2^yとなり、3^x=2M+2^(y-1)となりy≧2であるから右辺は偶数。
しかし左辺は奇数であるから、矛盾、よって3^x+7^x=2^ｙとなるx,yは存在しない。