問題
x^x+y^y+z^z=w^wを満たす正の整数x,y,z,wは存在するか。
存在しないならばそれを示し、存在するならばそれらを全て求めよ。
解答
存在しないことを示す。
まずw≧3のときを考える。
このときw^w≧3w^(w-1) > 3(w-1)^(w-1)となる。
またx,y,z ≦ w-1でなければならないから
x^x+y^y+z^z <3(w-1)^(w-1)
これによりx^x+y^y+z^z < w^wとなる。
すなわちx^x+y^y+z^z=w^wを満たすx,y,zは存在しない。
次に、w=2のとき、w^w=4となる。
またx=y=z=1となるが、このときx^x+y^y+z^z=3となる。
よって成り立たない。
w=1のときは明らかに成り立たない。
よってx^x+y^y+z^z=w^wを満たす正の整数の組x,y,zは存在しない。(証明終わり)